Les suites de Fibonnacci

Publié le par matheux

La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien italien, Leonardo Pisano, dit Fibonacci (1175-1250). Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins :

« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »

Ce problème est à l'origine de la suite dont le n,-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au n,-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :

  • le premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
  • les lapereaux ne sont pubères qu'à partir du deuxième mois ;
  • chaque mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
  • les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).
Autrement dit, au début (t=0) on a un couple A de jeunes lapins.
Le mois suivant (t=1) les deux lapins sont adultes, le couple est appelé B.
Évidemment après un second mois (t=2), deux jeunes lapins naissent et on a deux couples B et A.

Si on Résume : d'un mois au suivant
  • chaque A devient B,
  • chaque B devient BA.

Les couples sont, successivement, A, B, BA, BAB, BABBA, BABBABAB ... (ce sont les mots de Fibonacci sur l'alphabet {A, B}).
Les nombres de couples de lapins sont 1, 1, 2, 3, 5, 8 ... (nombres de Fibonacci).

Les nombres de Fibonacci sont les suivants: 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; ...

Ils se construisent de la forme suivante:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 5 = 8
  • ...
Soit sous la forme d'une formule:


mathcal{F}_{n+2}=mathcal{F}_{n+1}+mathcal{F}_n.


Voici une fois de plus comment dans la nature, on retrouve des aspects mathématiques,...
Un grand nombre d'espèce végétale et animale suivent des critères basés sur la suite de Fibonacci comme la reproduction des lapins en situation idéale, n'est-ce pas incroyable??

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